Vi forklarer, hvad en sætning er, dens funktion og hvad dens dele er. Hertil kommer Pythagoras, Thales, Bayes og andres sætninger.
Hvad er en sætning?
En sætning er en forslag at ud fra visse forudsætninger eller hypotese, kan testbart hævde en ikke-selvindlysende afhandling (fordi det i så fald ville være en aksiom). De er meget almindelige indeni formelle sprog, ligesom matematik bølge logik, da de udgør udtrykket af visse formelle regler eller "spil"-regler.
Sætningerne foreslår ikke kun stabile relationer mellem lokaliteter og konklusion, men giver også de grundlæggende nøgler til at bevise det. Beviset for sætninger er i virkeligheden en central del af matematisk logik, da andre kan udledes af en sætning og dermed udvide kendskabet til det formelle system.
Inden for matematiske studier bruges udtrykket "teorem" dog kun til forslag af særlig interesse for det akademiske samfund. I modsætning hertil er ethvert bevisbart udsagn i førsteordens logik i sig selv et teorem.
Ordet "sætning" kommer fra græsk teorem, afledt af verbet teori, som betyder "overveje", "dømme" eller "reflektere", hvorfra ordet "teori" også kommer.
For de gamle grækere var en teorem resultatet af omhyggelig og omhyggelig iagttagelse og refleksion, og det var et udtryk, der blev brugt meget hyppigt af mange filosoffer og matematikere på den tid.Derfra kommer også den akademiske sondring mellem begreberne "sætning" og "problem": den første er teoretisk og den anden er praktisk.
Hver sætning har tre dele:
- Hypotese enten lokaliteter. Det er det logiske indhold, som konklusionen kan udledes af og derfor går forud for den.
- Speciale eller konklusion. Det er det, der står i sætningen, og det kan formelt demonstreres ud fra det, der foreslås af præmisserne.
- Følger. De er de deduktioner eller sekundære og yderligere formuleringer, der opnås fra sætningen.
Pythagoras sætning
Pythagoras sætning er en af de ældste matematiske sætninger kendt af menneskeheden. Den tilskrives den græske filosof Pythagoras fra Samos (ca. 569 – ca. 475 f.Kr.), selvom sætningen menes at være meget ældre, muligvis af babylonsk oprindelse, og at Pythagoras var den første til at bevise den.
Denne sætning foreslår, at givet en trekant rektangel (det vil sige at have mindst én ret vinkel), kvadratet af længden af siden af trekanten modsat den rette vinkel (hypotenusen) vil altid være lig med summen af kvadratet af længden af de to andre sider (kaldet ben). Dette er angivet som følger:
I enhver retvinklet trekant vil kvadratet af hypotenusen være lig med summen af kvadraterne på benene.
Og med følgende formel:
-en2 + b2 = c2
Hvor -en Y b lig med længden af benene og c til længden af hypotenusen. Derfra kan der også udledes tre konsekvenser, det vil sige afledte formler, der har praktisk anvendelse og algebraisk verifikation:
-en = √c2 – b2
b = √c2 – a2
c = √a2 + b2
Pythagoras sætning er blevet bevist adskillige gange gennem historien: af Pythagoras selv og af andre geometre og matematikere som Euklid, Pappus, Bhaskara, Leonardo da Vinci, Garfield, blandt andre.
Thales teorem
Tilskrevet den græske matematiker Thales af Miletus (ca. 624 – ca. 546 f.Kr.), omhandler denne todelte sætning (eller disse to sætninger med samme navn) geometri af trekanter som følger:
- Thales' første sætning foreslår, at hvis en af siderne i en trekant fortsættes ud over af en parallel linje, vil en større trekant, men med samme proportioner, blive opnået. Dette kan udtrykkes som følger:
Givet to proportionale trekanter, en stor og en lille, vil forholdet mellem to af siderne i den store trekant (A og B) altid være lig med forholdet mellem de samme sider af den lille (C og D).
A/B = C/D
Denne teorem tjente ifølge den græske historiker Herodot, Thales til at måle størrelsen af Cheops-pyramiden i Egypten, uden at skulle bruge instrumenter af enorm størrelse.
- Thales' anden sætning foreslår, at givet en omkreds, hvis diameter er AC og centrum "O" (forskelligt fra A og C), kan en retvinklet trekant ABC dannes således, at
Heraf følger to konsekvenser:
- I enhver retvinklet trekant er længden af medianen svarende til hypotenusen altid halvdelen af hypotenusen.
- Den omskrevne omkreds af enhver retvinklet trekant har altid en radius svarende til halvdelen af hypotenusen, og dens omkredscenter vil være placeret ved hypotenusens midtpunkt.
Bayes sætning
Bayes' sætning blev foreslået af den engelske matematiker Thomas Bayes (1702-1761) og offentliggjort efter hans død i 1763. Denne sætning udtrykker sandsynligheden for, at en begivenhed "A given B" indtræffer, og dens sammenhæng med sandsynligheden for en begivenhed "B given A". ". Denne sætning er meget vigtig i teorien om sandsynlighed, og er formuleret som følger:
Det betyder, at det er muligt at beregne sandsynligheden for en hændelse (A), hvis vi ved, at den opfylder en vis nødvendig betingelse for dens forekomst, omvendt til totalsandsynlighedssætningen.
Andre kendte teoremer
Andre berømte teoremer er:
- Ptolemæus' sætning. Det gælder, at i hver cyklisk firkant er summen af produkterne af parrene af modstående sider lig med produktet af deres diagonaler.
- Euler-Fermat-sætningen. Han fastholder, at ja -en Y n er heltal pårørende fætre altså n deler til aᵩ(n)-1.
- Lagranges sætning. Han fastholder, at ja F er en kontinuerlig funktion på et lukket interval [a, b] og differentierbar på det åbne interval (a, b), så eksisterer der et punkt c ved (a, b), således at en tangentlinje i det punkt er parallel med sekantlinjen gennem punkterne (a, F(a)) og (b, F(b)).
- Thomas' sætning. Han hævder, at hvis folk etablerer en situation som reel, bliver den situation reel i dens konsekvenser.