Vi forklarer, hvad geometri er, dens historie og dens genstand for undersøgelse. Hertil kommer egenskaberne for hver type geometri.
Hvad er geometri?
Geometri (fra græsk geo, "Land" og måler, "Måling") er en af de ældste grene af matematik, dedikeret til studiet af individuelle objekters form, det rumlige forhold mellem dem og egenskaberne af det rum, der omgiver dem.
Selv om denne disciplin i sin begyndelse adlød, som navnet indikerer, den måling i sin mest praktiske forstand, over tid menneskelighed han forstod, at selv de mest komplekse abstraktioner og repræsentationer kan udtrykkes i geometriske termer.
Det var således, at dets talrige grene opstod fra matematisk analyse og andre former for beregning, især dem, der forbinder geometrisk repræsentation med numeriske og algebraiske matematiske udtryk.
Geometri er en grundlæggende gren af matematikken, som adskillige discipliner er baseret på (f.eks. teknisk tegning eller egne arkitektur) og fungerer som et supplement til mange andre (f.eks fysisk, mekanikken, den astronomi, etc.). Derudover har det givet anledning til adskillige artefakter, fra kompasset og strømaftageren til det globale positioneringssystem (GPS).
Geometriens historie
Geometri har sin oprindelse praktisk talt i de første menneskelige civilisationer. De gamle babyloniere var opfinderne af hjulet og derfor af cirklernes geometri. Af denne grund var de sandsynligvis de første til at erkende det uendelige potentiale af geometrisk undersøgelse, som de snart anvendte til astronomi.
De gamle egyptere gjorde det samme, som dyrkede det nok til at anvende det i deres majestætiske arkitektoniske værker, da geometri og aritmetik på det tidspunkt var Videnskaber yderst praktisk.
Mange græske historikere, såsom Herodot (ca. 484-ca. 425 f.Kr.), Diodorus (ca. 90 f.Kr. - ca. 30 f.Kr.) og Strabo (ca. 63 f.Kr. - ca. 24 AD) anerkendte vigtigheden af den egyptiske geometriske arv , og blev betragtet som skaberne af disciplinen. Det var dog de gamle grækere, der gav geometrien sit formelle aspekt, takket være deres avancerede filosofiske model.
Af særlig betydning var matematikeren og geometristen Euklides (ca. 325 - ca. 265 f.Kr.), anerkendt som "geometriens fader", som foreslog det første geometriske system til kontrol af resultater gennem sit berømte arbejde Elementerne, komponeret omkring år 300 f.Kr. C. i Alexandria. Der bliver forskellene mellem flyet udtalt for første gang (todimensionelle) og plads (tredimensionel).
Andre vigtige bidrag til datidens geometri var Arkimedes (ca. 287 - ca. 212 f.Kr.) og Apollonius af Perge (ca. 262 - ca. 190 f.Kr.). Men i de efterfølgende århundreder flyttede udviklingen af matematikken til Østen (Indien, specifikt, og den muslimske verden), hvor geometrien blev udviklet sammen med algebra og trigonometri, der forbinder dem med astrologi og astronomi.
Interessen for disciplinen vendte således kun tilbage til Vesten i Renæssance europæiske, hvor mange nye navne blev føjet til hans undersøgelse, hvilket gav anledning til projektiv geometri og især kartesisk geometri eller analytisk geometri, frugt af værket af den franske filosof René Descartes (1596-1650), bæreren af en ny geometrisk forskningsmetode, der revolutionerede og moderniserede dette vidensfelt.
Fra da af fandt moderne geometri sted ved hjælp af store lærde som tyskeren Carl Friedrich Gauss (1777-1855), russeren Nikolái Lobachevski (1792-1856), ungareren János Bolyai (1802-1860), blandt mange andre, som formåede at afvige fra Euklids klassiske aksiomer og fandt et nyt fagfelt: ikke-euklidisk geometri.
Genstand for undersøgelse af geometri
Geometri fungerer både i det todimensionelle og det tredimensionelle.Geometri beskæftiger sig med rummets egenskaber og i særdeleshed med former og tal der bebor det, enten todimensionelle (plan) eller tredimensionelle (rum), såsom punkter, linjer, planer, polygoner, polyedre, og så videre. Disse typer objekter forstås som idealiseringer, det vil sige mentale projektioner af rummet, for at overføre (eller ej) deres konklusioner til det konkretes verden.
Geometri typer
Geometri har mange forskellige grene, og dens klassificering svarer generelt til det forhold, den etablerer med Euklids fem grundlæggende postulater, hvoraf kun fire er blevet demonstreret bredt siden antikken. Den femte skulle derimod modificeres for at give anledning til forskellige familier af geometrier.
Derfor skal vi skelne mellem:
Absolut geometri, en der er styret af de første fire postulater af Euklid.
Euklidisk geometri, en der også accepterer det femte euklidiske postulat som et aksiom, hvilket igen giver anledning til to varianter: planets geometri (todimensional) og rummets geometri (tredimensionel), ifølge den antikke græske klassifikation .
Klassisk geometri, en hvor resultaterne af euklidiske geometrier er kompileret.
Ikke-euklidisk geometri, som opstod i det 19. århundrede, er en, der samler de forskellige geometriske systemer, der er langt fra Euklids femte postulat, men accepterer de fire første eller nogle af dem. Blandt dem er:
- Elliptisk eller Riemannsk geometri, som adlyder de første fire postulater af Euklid og præsenterer en model for konstant og positiv krumning.
- Hyperbolsk eller lobachevsk geometri, som kun adlyder de første fire postulater af Euklid og præsenterer en model af konstant og negativ krumning.
- Sfærisk geometri, forstået som geometrien af den todimensionelle overflade af en kugle (i stedet for et lige plan), er en enklere model af elliptisk geometri.
- Finit geometri, hvis system adlyder et begrænset antal punkter (i modsætning til Euklids uendelige geometri), og hvis modeller kun gælder i et endeligt plan. Der er to typer af endelige geometrier: affin og projektiv.