Primtal

Matematik

2022

Vi forklarer, hvad primtal er, deres historie og deres anvendelser og anvendelser. Også forskelle med sammensatte tal.

Primtal kan ikke opdeles nøjagtigt i mindre tal.

Hvad er primtal?

I matematik, primtallene er sættet af naturlige tal større end 1, som kun kan divideres med 1 og sig selv. Det vil sige, at det er tal, der ikke kan nedbrydes til mindre tal præcist, og heri adskiller de sig fra resten af ​​de naturlige tal (altså de sammensatte tal). Denne tilstand er kendt som primalitet.

For eksempel er 3 et primtal, da det kun kan divideres mellem 1 og 3, mens 4 kan divideres med 2. Noget lignende sker med 7, et primtal, men ikke med 8, der er deleligt med 2 og fire.

Listen over primtal er uendelig og ser ud til at være underlagt lovene i sandsynlighed, det vil sige, at dens hyppighed af udseende ikke følger strenge og regelmæssige regler.

Det er grunden til, at primtal har været genstand for studier siden oldtiden af ​​matematikere og tænkere, hvoraf mange har tænkt på at finde en form for åbenbaring eller guddommelig budskab i lovene for deres distribution. Faktisk har nogle af de sværeste matematiske problemer at løse at gøre med primtal, såsom Riemann-hypotesen og Goldbach-formodningen.

primtals historie

Euklid var den første til at lave en formel undersøgelse af primtal.

Studiet af primtal havde sin begyndelse i oldtiden. Beviser for deres viden er blevet fundet i civilisationer længe før fremkomsten af skrivning, for omkring 20.000 år siden, samt på lertavler fra oldtiden Mesopotamien. Både babylonierne og egypterne udviklede en magtfuld viden matematisk, hvori primtallene blev betragtet.

Den første formelle undersøgelse af primtal dukkede dog op i det antikke Grækenland omkring 300 f.Kr. C., og det er den genstande af Euklid (i hans bind fra VII til IX). Omkring samme tid opstod den første nyttige algoritme til at finde primtal, kendt som Eratosthenes Sieve.

Det var dog først i det 17. århundrede, at disse studier blev relevante igen i Vesten: Den franske jurist og matematiker Pierre de Fermat (1601-1665) etablerede for eksempel i 1640 sin Sætning de Fermat, og den franske munk Marin Mersenne (1588-1648) helligede sig primtal af formen 2p – 1, hvorfor de i dag er kendt som "Mersenne-tal".

Takket være disse undersøgelser, tilføjet til dem af Leonhard Euler, Bernhard Riemann, Adrien-Marie Legendre, Carl Friedrich Gauss og andre europæiske matematikere, dukkede de første moderne metoder til at finde primtal op i det 19. århundrede, forløbere for dem, der anvendes i dag. computere videnskabelig.

Anvendelser og anvendelser af primtal

Primtal har følgende applikationer og anvendelser:

  • Inden for numeriske og matematiske studier bruges primtal til studiet af komplekse tal gennem begrebet "relative primtal". De bruges også i formuleringen af ​​"endelige legemer" og i geometrien af ​​stjernepolygoner af n
  • I edb, bruges primtallene til formulering af nøgler vha algoritmer beregning.

Primtalstabel

Mellem tallet 2 og tallet 1013 er der 168 primtal, som er:

2 3 5 7 11 13 17
19 23 29 31 37 41 43
47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97 101 103 107
109 113 127 131 137 139 149
151 157 163 167 173 179 181
191 193 197 199 211 223 227
229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307
311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389
397 401 409 419 421 431 433
439 457 461 463 467 479 487
491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587
593 599 601 607 613 617 619
631 641 643 647 653 659 661
673 677 683 691 701 709 719
727 733 739 743 751 757 761
769 773 787 797 809 811 821
823 827 829 839 853 857 859
863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967
971 977 983 991 997 1009 1013

Forskellen mellem primtal og sammensatte tal

Som navnet indikerer, er sammensatte tal opbygget af to andre tal på en symmetrisk og perfekt måde. Derfor kan sammensatte tal divideres med andre mindre tal og få nøjagtige resultater. Primtal er derimod kun delelige med 1 og med sig selv, så de er egentlig ikke "sammensat" af andre tal, men udgør derimod en singularitet i sig selv.

Således er tallet 16 fx opbygget af 8 (16 divideret med 2), 4 (16 divideret med 4) og 2 (16 divideret med 8), mens tallet 13 ikke er sammensat af noget andet tal, da kan kun divideres med 1 og sig selv.

Nummer 1

Tallet 1 er et undtagelsestilfælde i matematik, da det i dag hverken betragtes som et primtal eller et sammensat tal. Indtil det 19. århundrede mente man, at det var et primtal, selvom det ikke deler de fleste af primtallenes egenskaber, såsom Euler-funktionen eller divisorfunktionen. Den nuværende tendens i denne forstand er at udelukke 1 fra listen over primtal.

!-- GDPR -->