• Hvad er et talsystem?
• Ikke-positionelle talsystemer
• Semi-positionelle talsystemer
• Positionsnummersystemer

Vi forklarer, hvad et nummereringssystem er, og vi studerer egenskaberne ved hver type system gennem eksempler fra forskellige kulturer.

Hvert talsystem indeholder et bestemt og begrænset sæt symboler.

Hvad er et talsystem?

Et talsystem er et sæt af symboler og regler, hvormed antallet af objekter i et tal kan udtrykkes. sæt, det vil sige, hvorigennem alle gyldige tal kan repræsenteres. Det betyder, at hvert talsystem indeholder et givet og endeligt sæt af symboler, plus et givet og endeligt sæt regler, som man kan kombinere dem efter.

Nummersystemer var en af ​​de vigtigste menneskelige opfindelser i oldtiden, og hver af de gamle civilisationer havde sit eget system, relateret til dets måde at se verden på, det vil sige med dens kultur.

I store træk kan nummereringssystemer klassificeres i tre forskellige typer:

• ikke-positionelle systemer. Det er dem, hvor hvert symbol svarer til en fast værdi, uanset hvilken position det indtager inden for tallet (hvis det vises først, til den ene side eller efter).
• Semi-positionelle systemer. Det er dem, hvor værdien af ​​et symbol har en tendens til at være fast, men kan ændres i særlige situationer med udseende (selvom de har tendens til at være ret undtagelser). Det forstås som et mellemsystem mellem det positionelle og det ikke-positionelle.
• Positionelle eller vægtede systemer.Det er dem, hvor værdien af ​​et symbol bestemmes både af dets eget udtryk og af den plads, det indtager i tallet, idet det kan være mere eller mindre værd eller udtrykke forskellige værdier afhængigt af, hvor det er placeret.

Det er også muligt at klassificere nummersystemer ud fra det antal, de bruger som grundlag for deres beregninger. Således er det nuværende vestlige system f.eks. decimalt (da dets base er 10), mens det sumeriske nummersystem var sexagesimalt (dets basis var 60).

Ikke-positionelle talsystemer

Ikke-positionelle systemer var nemme at lære, men krævede adskillige symboler.

Ikke-positionelle talsystemer var de første, der eksisterede og havde de mest primitive baser: fingre, knuder på et reb eller andre registreringsmetoder til at koordinere talsæt. Hvis du for eksempel tæller på en hånds fingre, så kan du tælle på hele hænder.

I disse systemer har cifrene deres egen værdi, uanset deres placering i symbolkæden, og for at danne nye symboler skal symbolernes værdier tilføjes (af denne grund er de også kendt som additive systemer). Disse systemer var enkle, nemme at lære, men krævede adskillige symboler for at udtrykke store mængder, så de var ikke helt effektive.

Eksempler på disse typer systemer er:

• Det egyptiske talsystem. Opstod omkring det tredje årtusinde f.Kr. C., var baseret på de ti og brugte hieroglyfer forskellige for hver rækkefølge af enheder: en for enheden, en for de ti, en for hundrede og så videre op til millionen.
• Det aztekiske talsystem. Typisk for Mexica-imperiet havde det 20 som sin base og brugte specifikke genstande som symboler: et flag svarede til 20 enheder, en fjer eller et par hår svarede til 400, en taske eller sæk svarede til 8.000, blandt andre.
• Det græske talsystem.Nærmere bestemt den ioniske, blev opfundet og spredt i det østlige Middelhav fra det fjerde århundrede f.Kr. C., der erstatter det allerede eksisterende akrofoniske system. Det var et alfabetisk system, som brugte bogstaver til at betyde tal, der matchede bogstavet med dets kardinalplads i alfabetet (A=1, B=2). Således blev hvert tal fra 1 til 9 tildelt et bogstav, hver ti et andet specifikt bogstav, hvert hundrede et andet, indtil der blev brugt 27 bogstaver: de 24 i det græske alfabet og tre specialtegn.

Semi-positionelle talsystemer

Semi-positionelle systemer reagerede på behovene i en mere udviklet økonomi.

Semi-positionelle talsystemer kombinerer forestillingen om den faste værdi af hvert symbol med visse positioneringsregler, så de kan forstås som et hybrid eller blandet system mellem positionelle og ikke-positionelle. De nyder faciliteter til at repræsentere store tal, styre rækkefølgen af ​​tal og formelle procedurer såsom multiplikation, så de repræsenterer et skridt fremad i kompleksitet sammenlignet med ikke-positionelle systemer.

Fremkomsten af ​​semi-positionelle systemer kan i vid udstrækning forstås som overgangen til en mere effektiv nummereringsmodel, der kunne tilfredsstille de mere komplekse behov i en mere udviklet økonomi, såsom de store imperier i den klassiske oldtid.

Eksempler på denne nummereringsmodel er:

• Det romerske talsystem. Skabt i den romerske oldtid, den overlever den dag i dag. I dette system blev figurerne bygget ved hjælp af visse store bogstaver i det latinske alfabet (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 osv.), hvis værdi blev fastsat og betjent baseret på addition og subtraktion, afhængigt af hvor symbolet vises.Hvis symbolet var til venstre for et symbol med samme eller mindre værdi (som i II = 2 eller XI = 11), skal de samlede værdier tilføjes; mens hvis symbolet var til venstre for et symbol med højere værdi (som i IX = 9 eller IV = 4), skulle de trækkes fra.
• Det klassiske kinesiske talsystem. Dens oprindelse går tilbage til omkring 1500 f.Kr. C. og er et meget strengt system med lodret repræsentation af tal gennem deres egne symboler, der kombinerer to forskellige systemer: et til dagligdags skrivning og et andet til kommercielle eller finansielle optegnelser. Det var et decimalsystem, der havde ni forskellige tegn, der kunne placeres ved siden af ​​hinanden for at tilføje deres værdier, nogle gange ved at indsætte et særligt tegn eller skifte mellem placeringen af ​​tegnene for at angive en specifik operation.

Positionsnummersystemer

Det nuværende nummereringssystem kommer fra det hindu-arabiske system.

Positionelle talsystemer er de mest komplekse og effektive af de tre typer talsystemer, der findes. Kombinationen af ​​symbolernes korrekte værdi og den værdi, der tildeles af deres position, gør det muligt for dem at bygge meget høje figurer med meget få tegn, tilføje og/eller gange værdien af ​​hver enkelt, hvilket gør dem mere alsidige og moderne systemer.

Generelt bruger positionssystemer et fast sæt symboler, og gennem deres kombination produceres resten af ​​de mulige figurer, ad infinitum, uden at det er nødvendigt at skabe nye tegn, men snarere ved at indvie nye søjler af symboler. Dette indebærer selvfølgelig, at en fejl i strengen også ændrer den samlede værdi af tallet.

De første eksempler på systemer af denne type opstod inden for de store imperier eller de mest krævende antikke kulturer i kulturelle og kommercielle spørgsmål, såsom det babylonske imperium i det andet årtusinde f.Kr. C. Eksempler på denne type nummereringssystem er:

• Det moderne decimalsystem.Med kun cifrene fra 0 til 9, giver det dig mulighed for at bygge ethvert muligt tal, tilføje kolonner, hvis værdi tilføjes, når du flytter til højre, med ti som en base. Ved at tilføje symboler til 1 kan vi bygge 10, 195, 1958 eller 19589. Det er vigtigt at præcisere, at de anvendte symboler kommer fra hindu-arabiske tal.
• Det hindu-arabiske talsystem. Opfundet af de gamle vismænd i Indien og senere arvet af de muslimske arabere, nåede det Vesten gennem Al-Andalus og endte med at erstatte romertal traditionel. I dette system, svarende til den moderne decimal, er enheder fra 0 til 9 repræsenteret af specifikke glyffer, som repræsenterede værdien af ​​hver enkelt ved hjælp af linjer og vinkler. Systemet til drift af dette system er grundlæggende det samme som det moderne vestlige decimalsystem.
• Mayaernes talsystem. Den blev skabt til at måle tid i stedet for at foretage matematiske transaktioner, og dens base var vigesimal og dens symboler svarer til kalenderen for denne præcolumbianske civilisation. Figurerne, grupperet 20 gange 20, er repræsenteret med grundlæggende tegn (striber, prikker og snegle eller skaller); og for at gå videre til næste partitur tilføjes et point på næste skriveniveau. Hertil kommer Mayaer de var blandt de første til at bruge tallet nul.